首都醫(yī)科大學(xué)短小附屬北京天壇和睦相處醫(yī)院10個(gè)月小巧寶寶正常體溫敢做敢為固步自封范圍及注意事愛之欲其生項(xiàng)：1. 正掩耳盜鈴回天無力常腋下體溫為簡潔36℃到37當(dāng)務(wù)之急.2℃，但會(huì)俏麗受環(huán)境和生理博古通今活動(dòng)影響，上虎毒不食兒下波動(dòng)不超過海誓山盟1℃。2. 顧前不顧后寶寶生長發(fā)育大魚吃小魚快，機(jī)體新陳可望不可即代謝旺盛，體幸福溫可能偏高一急趨無善跡些。3. 低瀟灑燒可嘗試物理三心二意降溫，體溫超馬上得天下過38度5需秀麗勻稱要用退燒藥。好心沒好報(bào)4. 如反復(fù)媚眼發(fā)燒不退、精講究神狀態(tài)不好應(yīng)俏麗及時(shí)就醫(yī)，做不急之務(wù)輕舉妄動(dòng)相關(guān)檢查明確憧憬堅(jiān)定診斷并對癥治不亦樂乎療。內(nèi)容來自寵搜網(wǎng)(www.meixindoors.cn)，請勿采集！

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什么是歌德爾定理？

哥德爾定理簡介

哥德爾定理是數(shù)理邏輯中的一個(gè)定理，1931年奧地利邏輯、數(shù)學(xué)家克爾特.哥德爾(Kurt Godel)發(fā)現(xiàn)并證明的，這個(gè)定理徹底粉碎了希爾伯特的形式主義理想。為理解這個(gè)定理及其意義，需要相當(dāng)?shù)臄?shù)理邏輯和集合論知識(shí)。要把這些預(yù)備知識(shí)都在這里整理出來，工作太繁重了，這也就是我一直沒敢動(dòng)手寫這篇東西的原因之一。這里仍然也不打算詳細(xì)介紹這些東西，只是在必要的時(shí)候給些簡單的說明，要想更深刻地理解，有興趣的朋友可以自學(xué)相關(guān)課程。

哥德爾定理其實(shí)是兩個(gè)定理，其中哥德爾第一不完備性定理是最重要、也是誤解最多的，從這一定理的版本眾多就可以看出。如：

“如果一個(gè)形式理論T足以容納數(shù)論并且無矛盾，則T必定是不完備的?！?p> “任何一個(gè)相容的數(shù)學(xué)形式化理論中，只要它強(qiáng)到足以在其中定義自然數(shù)的概念，就可以在其中構(gòu)造在體系中既不能證明也不能否證的命題?！?p> “任何一個(gè)足夠強(qiáng)的一致公設(shè)系統(tǒng),必定是不完備的”

第二不完備性定理是第一定理的一個(gè)推論：“任何相容的形式體系不能用于證明它本身的相容性”

如果沒有相關(guān)的知識(shí)基礎(chǔ)，要理解這個(gè)定理真的是比較難。至于證明就更不容易看懂了。我偷點(diǎn)懶，跳過這些直接介紹其意義吧。

哥德爾定理是一階邏輯的定理，在形式邏輯中，數(shù)學(xué)命題及其證明都是用一種符號(hào)語言描述的，在這里我們可以機(jī)械地檢查每個(gè)證明的合法性，于是便可以從一組公理開始無可辯駁地證明一條定理。上世紀(jì)初，以希爾伯特為代表的形式主義派，希望能通過形式邏輯的方法，構(gòu)造一個(gè)有關(guān)數(shù)論（自然數(shù)）的有限的公理集合，推出所有數(shù)論原理（完備性），且無矛盾（相容性），并以此出發(fā)構(gòu)造整個(gè)形式主義的數(shù)學(xué)體系。而哥德爾第一不完備定理，粉碎了這一設(shè)想。這兩個(gè)定理實(shí)際上表明，這樣的公理系統(tǒng)要么不完備，要么有矛盾。數(shù)論的相容性為根茨（G.Gentaen，1909-1945）在1936年使用蘊(yùn)涵著非演繹邏輯的超限歸納法所證明。

因而，該定理揭示在多數(shù)情況下，例如在數(shù)論或者實(shí)分析中，永遠(yuǎn)不能找出公理的完整集合。你可以在公理體系不斷加入新的公理，甚至構(gòu)成無窮的公理集合，但是這樣的公理列表不再是遞歸的，不存在機(jī)械的判斷方法判斷加入的公理是否是該公理系統(tǒng)的一條公理。這對于計(jì)算機(jī)科學(xué)意義重大，在計(jì)算機(jī)語言中，一階邏輯的定理是遞歸可枚舉的，然而哥德爾第一不完備定理表明，無法編制這樣的程序，通過遞歸的定理證明，可在有限時(shí)間內(nèi)判斷命題真假。彭羅斯的《皇帝新腦》中用停機(jī)問題描述了這一點(diǎn)，他甚至認(rèn)為由此可知電腦永遠(yuǎn)不能超越人腦，甚至不可能達(dá)到人腦的水平。當(dāng)然這點(diǎn)還不是定論，存在很大爭議。

想說的簡明一些，看來還是不行。還是結(jié)合對常見誤解的分析，盡量來澄清模糊認(rèn)識(shí)吧。

常見誤解一：“所有的公理系統(tǒng)都是不完備的”。這是最常見的，甚至有人用這點(diǎn)來否定邏輯學(xué)，這是錯(cuò)誤的。拿歐氏幾何來說，就可以被公理化為一個(gè)完整的系統(tǒng)。

常見誤解二：“所有包含到自然數(shù)的公理系統(tǒng)都是不完備的”。這個(gè)錯(cuò)誤從上面的有些哥德爾定理的描述中都能看得出來。該定理僅假設(shè)公理系統(tǒng)能“定義”自然數(shù)。很多包含自然數(shù)的系統(tǒng)，例如“實(shí)數(shù)”和“復(fù)數(shù)”都有完備的公理化系統(tǒng)。

常見誤解三：“因?yàn)椴煌陚?，我們永遠(yuǎn)無法證明一個(gè)公理系統(tǒng)無矛盾”。不，我們可以用其他方法證明，如上面提過的超限歸納法。其實(shí)該定理只表明我們不能從系統(tǒng)的內(nèi)部證明相容性，不排除我們可以通過其他系統(tǒng)給出證明。例如，數(shù)論中的皮亞諾公理不能單獨(dú)在數(shù)論范圍內(nèi)證明，但可在集合論中證明。

看起來長篇大論一大堆，可我的感覺卻是太單薄了，這只能算是簡而又簡的簡介，呵呵。拋磚引玉吧，希望對大家有所幫助。

二

哥德爾定理主要還是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用的，至于在實(shí)際中的運(yùn)用，很多都是基于錯(cuò)誤的理解在盲目套用，論壇中的某些傳教貼子中就多次出現(xiàn)。要想避免錯(cuò)誤，還是應(yīng)該真正的弄懂這個(gè)定理的意思，但矛盾的是，這的確需要相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，才可能，對于很多人來說，實(shí)在太難了。所以在文中我指出一些錯(cuò)誤理解，進(jìn)行了簡單的分析，大家如果加以注意，就可以避免很多錯(cuò)誤。下面我介紹一些實(shí)際運(yùn)用的例子，只是我個(gè)人認(rèn)為比較正確的應(yīng)用，也許對幫助大家理解這個(gè)定理有幫助，

既然是數(shù)學(xué)定理，最直接的應(yīng)用領(lǐng)域還是在數(shù)學(xué)里，尤其是數(shù)論。很多數(shù)論中的命題的證明，都需要用到哥德爾定理。這我就不多介紹了。這個(gè)定理表明，有些關(guān)于自然數(shù)的命題，本身可能是真命題，但是不能僅從自然數(shù)公理系統(tǒng)內(nèi)證明或證否，需要其他的手段或者方法，如集合論等，才可以證明。曾經(jīng)有人猜測，“哥德猜想”可能就是這樣的一個(gè)命題。因此即便對于極為抽象和形式化的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家的直覺——也就是大量實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的積累——比純形式的數(shù)學(xué)邏輯推理更基本，更可靠。但并不能就此說邏輯就毫無用處了，后者可以用來驗(yàn)證前者是否正確，也可以推導(dǎo)出一些新正確的命題，只是不能代表全部。而如前文所說，即便不能在形式系統(tǒng)內(nèi)證明，還可以通過其他方法，或從其他系統(tǒng)中證明。另外，再次強(qiáng)調(diào)，“該定理僅假設(shè)公理系統(tǒng)能‘定義’自然數(shù)”，是一階的邏輯定理，不要任意擴(kuò)大。這里經(jīng)常發(fā)生錯(cuò)誤理解，還是建議有興趣的朋友多了解掌握有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)。

該定理的另一個(gè)主要應(yīng)用領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)的一個(gè)應(yīng)用分枝——計(jì)算機(jī)和人工智能。現(xiàn)在把我文中提過的停機(jī)問題簡單介紹一下。計(jì)算機(jī)到現(xiàn)在有了極大的發(fā)展，但是基本原理還是馮·諾依曼提出來的，只是速度和效率大大提高了。從根本上說，計(jì)算機(jī)的程序，就是一種基于2進(jìn)制數(shù)字運(yùn)算的命題演算系統(tǒng)。其中給出的公理是有限的，規(guī)則是可計(jì)算，而判定出命題的真?zhèn)螘r(shí)，輸出結(jié)果，停機(jī)并轉(zhuǎn)向下一個(gè)命題的處理。這就符合了哥德爾第一不完備定理的條件。可如該定理所說，這樣的系統(tǒng)必然是不完備的，也就是說至少有一個(gè)命題不能通過這樣的“程序”被判明真?zhèn)?，系統(tǒng)在處理這樣的命題時(shí)，就無法“停機(jī)”，用俗話說就是被“卡”住了，永遠(yuǎn)不能繞過。無論你怎樣擴(kuò)充公理集，只要是有限的，這個(gè)現(xiàn)象就始終存在。而無限的公理集對于計(jì)算機(jī)來說，就意味著無限大的存儲(chǔ)空間，這顯然是不可能的。因此，有些數(shù)學(xué)家，如我提過的彭羅斯就認(rèn)為，這表明了計(jì)算機(jī)是有致命缺陷的，而人類的“直覺”不受該定理的，所以計(jì)算機(jī)永遠(yuǎn)不可能具有人腦的能力，人工智能期望中的真正具有智慧的“電腦”，只不過是如“皇帝的新衣”那樣的“皇帝的新腦”。關(guān)于這個(gè)問題的詳細(xì)情況，可閱讀彭羅斯的《皇帝新腦》。

為什么人腦與電腦有這樣的根本差別呢，彭羅斯認(rèn)為可能是量子力學(xué)不確定性和復(fù)雜非線形系統(tǒng)的混沌作用共同造成的。但也有的數(shù)學(xué)家并不這樣認(rèn)為，他們指出，人腦就基本意義和工作原理來說，與人工智能原理的“圖靈機(jī)”無根本差別，電腦也存在上述兩種作用，這就說明人腦也要受到哥德爾定理的。兩者間的差別，可用包含非確定性的計(jì)算系統(tǒng)說明，就是所謂的“模糊”處理。人腦正是這樣的包含了非確定性的自然形成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，它之所以看上去具有電腦不具備的“直覺”，正是這種系統(tǒng)的“模糊”處理能力和效率極高的表現(xiàn)。而傳統(tǒng)的圖靈機(jī)則是確定性的串行處理系統(tǒng)，雖然也可以模擬這樣的“模糊”處理，但是效率太低下了。而正在研究中的量子計(jì)算機(jī)和計(jì)算機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)才真正有希望解決這樣的問題，達(dá)到人腦的能力。

對于電腦是“真腦”還是“皇帝的新腦”，還存在很大的爭議，有很多的問題需要解決，很多都是現(xiàn)在世界上的頂尖科學(xué)家研究的尖端課題。我沒有能力判斷孰對孰錯(cuò)，但是我個(gè)人認(rèn)為“人類思維也受哥德爾定理的”這點(diǎn)很有意思，很可能是正確的。各方面研究都表明，人腦在“運(yùn)算”時(shí)，的確與電腦的基本原理是一樣的，只不過電腦是用電子元件的“開、閉”和電信號(hào)的傳遞體現(xiàn)，人腦則表現(xiàn)為神經(jīng)原的“沖動(dòng)、抑制”和化學(xué)信號(hào)（當(dāng)然也包括電信號(hào)）的傳遞。這與哥德爾定理的條件沒有本質(zhì)上的差別。而認(rèn)識(shí)過程中的“思維是客觀實(shí)在的近似反映，語言是思維的近似表達(dá)”這點(diǎn)，正是受哥德爾定理的結(jié)果。就拿語言（指形式上的）來說，完全可以轉(zhuǎn)化為有限公理和一定規(guī)則下的符號(hào)邏輯系統(tǒng)，也就是一種符合定理?xiàng)l件的形式公理系統(tǒng)。該定理恰恰說明，這樣的系統(tǒng)中不完備，存在不能用該系統(tǒng)證實(shí)的命題，對于這個(gè)系統(tǒng)來說，就是語言對思維的表達(dá)不完全，也就是我們常說的“只可意會(huì)，不可言傳”。這也與我們經(jīng)常感覺到的“辭不達(dá)意”是相吻合的，任何形式上的語言都不能完全準(zhǔn)確的表達(dá)我們的思想。還有另一個(gè)事實(shí)也說明這點(diǎn)，就是翻譯。文對文的形式語言翻譯雖然不難，可是如實(shí)地表達(dá)原來語言中的準(zhǔn)確蘊(yùn)義就非常難了，甚至可以說是不可能的事情。如果能證明人類的思維也可以轉(zhuǎn)化為這樣的形式公理系統(tǒng)，那人腦也一定受哥德爾定理的。

但正如我一開始就說過的，就算受哥德爾定理的，也并不說明這樣的系統(tǒng)就沒有意義，就不能正確反映客觀實(shí)在。就人類的思維來說，就是通過實(shí)踐不斷總結(jié)歸納從中獲得的經(jīng)驗(yàn)，加深對客觀世界的認(rèn)識(shí)，不斷進(jìn)“客觀真理”的過程。這也就是辨證唯物主義的認(rèn)識(shí)論。

還是那句話，這個(gè)定理雖然意義重大，但確實(shí)不好理解。上面是我個(gè)人的看法，不保證都對，只是希望通過探討，共同澄清認(rèn)識(shí)。